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\documentclass[10pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

\begin{document}

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\begin{center}

{\Large\bf \H 上海立信会计金融学院期终考试卷 } \hspace{0.3cm} {\Large \underline{ A }卷 参考答案 }

\vspace{0.3cm}

{\large \bf \H 2022 $\sim$ 2023 学年 第 一 学期 }

\vspace{0.3cm}

{\large \bf \H \underline{ \emph{2022级数学与应用数学专业} } 《\underline{ \emph{高等代数(一)} }》 课程代码：\underline{ 160360410}  }

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\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 试题从这里开始 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 试题从这里开始 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 试题从这里开始 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

本场考试属开卷在线考试，考试时间 60 分钟。共20个选择题，每题5分。 

\begin{enumerate}

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\item %1
求三个数，使得下述三个方程，分别乘以这三个数，相加之后可以同时消去未知数 $x_2$ 与 $x_3$,
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
x_1+2x_2+3x_3&=&10,  \\
4x_1+5x_2+6x_3&=&20, \\
7x_1+8x_2+7x_3&=&30. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item $(13, 10, -3)$.
\item $(-13, 10, 3)$.
\item $(-13, 10, -3)$.
\item $(-13, -10, -3)$.

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 所求三个数为代数余子式 $A_{11}, A_{21},A_{31}$. 
\begin{eqnarray*}
A_{11} = \begin{vmatrix} 5&6 \\ 8&7 \end{vmatrix}=-13, \,\, 
A_{21} = -\begin{vmatrix} 2&3 \\ 8&7 \end{vmatrix}=10, \,\, 
A_{31} = \begin{vmatrix} 2&3 \\ 5&6 \end{vmatrix}=-3. 
\end{eqnarray*}

\vspace{0.2cm}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %2
求排列 $\sigma=(918273645)$ 的逆序数。
\begin{enumerate}
\item 16.
\item 18. 
\item 20. 
\item 22. 

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 前大后小的一个数对称为一个逆序。这个排列的逆序有：
\begin{eqnarray*}
&& 91, 98, 92, 97, 93, 96, 94, 95,\\
&& 82, 87, 83, 86, 84, 85, \\ 
&& 73, 76, 74, 75, \\
&& 64, 65. 
\end{eqnarray*}
共有2+4+6+8=20个逆序。 

\vspace{0.2cm}


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %3
下述行列式 $D_1$ 与 $D_1$ 的联系是什么？
\begin{eqnarray*}
D_1=\begin{vmatrix} 
a_1&b_1&c_1&d_1 \\ 
a_2&b_2&c_2&d_2 \\ 
a_3&b_3&c_3&d_3 \\ 
a_4&b_4&c_4&d_4 \\ 
\end{vmatrix}, \hspace{0.5cm}
D_2=\begin{vmatrix} 
a_1&d_1&c_1&b_1+2c_1 \\ 
a_2&d_2&c_2&b_2+2c_2 \\ 
a_3&d_3&c_3&b_3+2c_3 \\ 
a_4&d_4&c_4&b_4+2c_4 \\ 
\end{vmatrix}. 
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item $D_2=-D_1$. 
\item $D_2=D_1$. 
\item $D_2=-2D_1$. 
\item $D_2=2D_1$. 

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(a). 将行列式 $D_2$ 的第三列乘以 $-2$ 加到第四列，然后对换第二列和第四列，得到行列式 $D_1$. 所以 $D_2=-D_1$. 

\vspace{0.2cm}


}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %4
下述矩阵哪个不是行最简形矩阵？
\begin{enumerate}
\item $\begin{bmatrix} 1&0&1&1&0 \\ 0&1&1&1&0 \\ 0&0&0&0&1  \end{bmatrix}$.
\item $\begin{bmatrix} 0&1&1&0&1 \\ 0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&0  \end{bmatrix}$.
\item $\begin{bmatrix} 1&1&0&0&1 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&0&0&1&1 \end{bmatrix}$.
\item $\begin{bmatrix} 1&1&1&1&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 0&0&0&1&1 \end{bmatrix}$.

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 首先判断是否阶梯形，若是则划出阶梯。然后判断阶梯所在位置是否为1. 最后判断阶梯的正上方是否都是0. 
因为选项 (d) 的阶梯正上方有的地方不是0, 所以这个不是行最简形。

\vspace{0.2cm}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %5
用初等变换方法计算矩阵的秩：
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&2 \\ 2&3&3 \\ 3&4&4 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item 1.
\item 2.
\item 3.
\item 4. 

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 用行初等变换将矩阵 $A$ 化为阶梯形，可得
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&2 \\ 2&3&3 \\ 3&4&4 \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{}
\begin{pmatrix} 1&2&2 \\ 0&-1&-1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
因为有2个阶梯，所以原矩阵的秩为2. 

\vspace{0.2cm}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %6
设矩阵 $A$ 和多项式 $f(x)$ 如下，求矩阵 $f(A)$ 的所有元素的和。
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 1&2  \end{pmatrix}, 
\hspace{0.3cm}
f(x) = x^2-x+2.
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item 25.
\item 26.
\item 27.
\item 28.

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 将矩阵代入多项式，注意常数项换成单位矩阵，可得
\begin{eqnarray*}
f(A)=A^2-A+2A = 
\begin{pmatrix} 2&3 \\ 1&2  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2&3 \\ 1&2  \end{pmatrix}
-\begin{pmatrix} 2&3 \\ 1&2  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2&0 \\ 0&2  \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 7&9 \\ 3&7  \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
因此所有元素的和是26. 

\vspace{0.2cm}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %7
将三阶矩阵 $A$ 的第一行乘以 $k$ 加到第二行得到矩阵 $B$, 再将矩阵 $B$ 的第三列乘以 $k$ 加到第二列，得到矩阵 $C$. 
求矩阵 $A$ 与 $C$ 的关系。记下述初等矩阵，
\begin{eqnarray*}
%A = \begin{pmatrix}a&b&c \\ u&v&w \\ x&y&z \end{pmatrix}, \hspace{0.2cm} 
P = \begin{pmatrix}1&0&0 \\ k&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}, \hspace{0.2cm} 
Q = \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&k&1 \end{pmatrix}, \hspace{0.2cm}  
R = \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&k \\ 0&0&1 \end{pmatrix}, \hspace{0.2cm} 
S = \begin{pmatrix}1&k&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item $C=PAQ$. 
\item $C=QAP$.
\item $C=RAS$. 
\item $C=SAR$. 

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(a). 根据行（列）初等变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵，可得选项 (a) 是正确的。

\vspace{0.2cm}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item %8
求解矩阵方程，矩阵 $X$ 的四个元素的和是多少？
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}1&2 \\ 3&5 \end{pmatrix} X
=\begin{pmatrix}7&6\\ 5&4 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item $-15$. 
\item $-16$. 
\item $-17$.
\item $-18$.

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 对``增广矩阵'' $(A,B)$ 做行初等变换，
\begin{eqnarray*}
(A,B) = \begin{pmatrix}1&2 &7&6 \\ 3&5&5&4 \end{pmatrix}
\xrightarrow[]{}
\begin{pmatrix}1&0&-25&-22 \\ 0&1&16&14 \end{pmatrix} 
= (E,A^{-1}B). 
\end{eqnarray*}

所以 $X= \begin{pmatrix}-25&-22 \\ 16&14 \end{pmatrix}$, 所有元素的和为 $-17$. 

\vspace{0.2cm}

}

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\item %9
设 $A$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵，下述说法中，不正确的是哪个？
\begin{enumerate}
\item 存在矩阵 $P$ 使得 $PA$ 为单位矩阵。
\item 存在一系列的行初等变换将矩阵 $A$ 化为单位矩阵。
\item 矩阵 $A$可以写成 $n$ 个初等矩阵的乘积。
\item 对任意 $n$ 阶矩阵 $B$ 都有 $R(AB)=R(B)$.  

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 矩阵 $A$ 可以写成一些初等矩阵的乘积，但是不一定正好是 $n$ 个。

\vspace{0.2cm}

}

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\item %10
设有实数矩阵  $A=\begin{pmatrix}  3&5 \\ 2&4  \end{pmatrix}$. 则伴随矩阵 $A^*$ 的所有元素的和是多少？

\begin{enumerate}
\item  0. 
\item  1. 
\item  2. 
\item  3. 
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(a). 伴随矩阵 $A^*=\begin{pmatrix}  4&-5 \\ -2&3  \end{pmatrix}$, 所有元素的和为 $0$. 

\vspace{0.2cm}

}

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\item %11
下述数集哪个不是数域？
\begin{enumerate}
\item 实数全体。
\item 复数全体。
\item $F = \{ a+b\sqrt{2} \mid a,b\in\mathbb{Q}\}$. 
\item $F = \{ a+b\sqrt[3]{2} \mid a,b\in\mathbb{Q}\}$. 

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 对选项(d), 因为 $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4}$ 不在这个数集中，所以这不是一个数域。改成数集
$F = \{ a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4} \mid a,b,c\in\mathbb{Q}\}$ 则是数域。

\vspace{0.2cm}

}

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\item %12
下述是性质``向量空间中的每个向量的负向量是唯一存在的''的证明：

设 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 都是向量 $\alpha$ 的负向量，即有 $\beta_1+\alpha =\theta$, $\beta_2+\alpha =\theta$. 
根据向量空间的公理可得 
\begin{eqnarray*}
\beta_1 
\overset{1}{=} \theta+\beta_1  
\overset{2}{=} (\beta_2+\alpha)+\beta_1 
\overset{3}{=} \beta_2+(\alpha+\beta_1) 
\overset{4}{=} \beta_2+(\beta_1+\alpha) 
\overset{5}{=} \beta_2+\theta 
\overset{6}{=} \theta+\beta_2 
\overset{7}{=} \beta_2. 
\end{eqnarray*}
关于上式的七个等号，下述说法中，不正确的是哪个？
\begin{enumerate}
\item 第二个等号是用了假设：向量 $\beta_2$ 是向量 $\alpha$ 的负向量。
\item 第三个等号是用了加法结合律。
\item 第四个等号是用了加法结合律。
\item 第五个等号是用了假设：向量 $\beta_1$ 是向量 $\alpha$ 的负向量。

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 第四个等号是用了加法交换律。

\vspace{0.2cm}

}

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\item %13
设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阶的实数矩阵， $X$ 是由未知数组成的 $n$ 维列向量。
关于结论``齐次线性方程组的解集 $W=\{X \mid AX=0 \}$ 是列向量空间 $V=\mathbb{R}^n$ 的一个向量子空间''的证明，下述说法中，不正确的是哪个？

\begin{enumerate}
\item 因为零向量总是 $AX=0$ 的解向量，所以子集 $W$ 不是空集。
\item 设 $\alpha,\beta\in W$. 则 $A\alpha=0, A\beta=0$. 故 $A(\alpha\beta)=0$. 故 $\alpha\beta\in W$. 
\item 设 $k\in F$, $\alpha\in W$. 则 $A\alpha=0$. 故 $A(k\alpha)=0$. 故 $k\alpha\in W$. 
\item 如果非空子集 $W\subseteq V$ 中的向量在向量空间 $V$ 的加法与数乘运算下的结果仍在 $W$ 中，那么向量空间的八条公理在子集 $W$ 中是自动成立的。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 选项 (b) 要改为：由 $A\alpha=0$ 与 $A\beta=0$ 可得 $A(\alpha+\beta)=0$ 故 $\alpha+\beta\in W$. 

\vspace{0.2cm}

}

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\item %14
设向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关。下述说法中，不正确的是哪个？

\begin{enumerate}
\item 向量组 $\{\alpha_1,  \alpha_1+\alpha_2,  \alpha_1+\alpha_3\}$ 也线性无关。
\item 向量组 $\{\alpha_1+\alpha_2,  \alpha_2+\alpha_3,  \alpha_3+\alpha_1\}$ 也线性无关。
\item 向量组 $\{\alpha_1,  \alpha_1+\alpha_3,  \alpha_2+\alpha_3\}$ 也线性无关。
\item 向量组 $\{\alpha_1+\alpha_2,  \alpha_1+\alpha_3,  \alpha_2-\alpha_3\}$ 也线性无关。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(d). 因为向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关，所以可以建立向量空间 $L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 与 $\mathbb{R}^3$ 的同构，
\begin{eqnarray*}
L(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) &\longleftrightarrow& \mathbb{R}^3 \\
\alpha_1&\longleftrightarrow& (1,0,0)^t \\ 
\alpha_2&\longleftrightarrow& (0,1,0)^t \\ 
\alpha_3&\longleftrightarrow& (0,0,1)^t
\end{eqnarray*}
则四个选项中的向量组分别对应于下列矩阵的列向量组，
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}, \,\,\, 
\begin{pmatrix} 1&0&1 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{pmatrix}, \,\,\, 
\begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&1 \end{pmatrix}, \,\,\, 
\begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&-1 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
可见只有第四个矩阵的行列式的值是零。所以这个矩阵的列向量组是线性相关的。

\vspace{0.2cm}

}

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\item %15
求向量组 $\Phi = \{ (1,0,0,0),\,\, (1,1,0,0),\,\, (1,2,0,0),\,\, (2,2,2,0), \,\, (3,3,3,0) \}$ 的秩。

\begin{enumerate}
\item 2.
\item 3.
\item 4.
\item 5.

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 将这些向量按照列向量的方式排成一个矩阵，
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&1&1&2&3 \\ 0&1&2&2&3 \\ 0&0&0&2&3 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
可见已经是行阶梯形。因为共有3个阶梯，所以它的秩为3. 

注：如果不是阶梯形，则用行初等变换化为阶梯形。

\vspace{0.2cm}

}

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\item %16
记 $V=\mathbb{R}[x]_3$ 为次数不超过3的实系数多项式全体组成的集合。
则 $V$ 在多项式的加法与数乘运算下成为一个实向量空间。
求向量 $\xi=(x+1)^3$ 关于基 $\Phi=(1,x-1,(x-1)^2,(x-1)^3)$ 的坐标。

\begin{enumerate}
\item $(8,12,6,1)$.
\item $(1,6,12,8)$.
\item $(1,3,3,1)$.
\item  $(3,9,9,1)$.

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(a). 将 $(x+1)^3$ 写成 $1,x-1,(x-1)^2,(x-1)^3$ 的线性组合，
\begin{eqnarray*}
(x+1)^3 &=& [(x-1)+2]^3 \\ 
&=& (x-1)^3 + 3(x-1)^2(2) + 3(x-1)(2)^2 + (2)^3 \\
&=& (x-1)^3 + 6(x-1)^2 + 12(x-1) + 8.
\end{eqnarray*}
可见系数分别为 $(8,12,6,1)$. 

\vspace{0.2cm}

}

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\item %17
设 $V$ 是一个向量空间。设 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 是 $V$ 的一个基。设 $T$ 是从基 $\Phi$ 到另一个基 $\Psi=(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)$ 的过渡矩阵。求矩阵 $T$ 的所有元素的和。
\begin{enumerate}
\item 2. 
\item 4. 
\item 6. 
\item 8. 

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 从基 $\Phi$ 到另一个基 $\Psi$ 的过渡矩阵 $T$ 由等式 $\Psi = \Phi\cdot T$ 定义，具体写出来就是 
\begin{eqnarray*}
(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\cdot 
\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
因此矩阵 $T$ 的所有元素的和是 6. 

\vspace{0.2cm}

}

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\item %18
从集合 $A=\{1,2,3,4\}$ 到集合 $B=\{a,b,c,d\}$ 的双射有多少个？
\begin{enumerate}
\item  4. 
\item  24. 
\item  64.
\item  256. 

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 确定一个双射 $f:A\to B$ 可以分为四步：
 \begin{enumerate}
\item[(1)]  确定 $f(1)$ 有4种选择。
\item[(2)]  确定 $f(1)$ 之后，确定 $f(2)$ 有3种选择。
\item[(3)]  确定 $f(1), f(2)$ 之后，确定 $f(3)$ 有2种选择。
\item[(4)]  确定 $f(1), f(2), f(3)$ 之后, $f(4)$ 只有唯一的选择。
\end{enumerate}
因此双射一共有 $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ 个。

\vspace{0.2cm}

}

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\item %19
已知矩阵 $A$ 用行初等变换化为行最简形如下，
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&3&20 \\ 4&5&4&39 \\ 3&2&1&16 \end{pmatrix}
\longrightarrow 
 \begin{pmatrix} 1&0&0&2 \\ 0&1&0&3 \\ 0&0&1&4 \end{pmatrix}=B. 
\end{eqnarray*}
则下述说法中，哪个是不正确的？
\begin{enumerate}
\item  矩阵 $A$ 的行秩为3. 
\item  向量 $(1,1,1,10)$ 属于矩阵 $A$ 的行空间。
\item  齐次线性方程组 $AX=0$ 的基础解系为 $(-2,-3,-4,1)$. 
\item  矩阵 $A$ 的第四个列向量可以由前面三个列向量线性表示。
\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(b). 行初等变换不改变矩阵的行空间，但是矩阵 $B$ 的行向量组的线性组合得不到这个向量。

\vspace{0.2cm}

}

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\item %20
齐次线性方程组 $x_1+x_2+x_3+x_4=4$ 的基础解系包含多少个向量？
\begin{enumerate}
\item 1. 
\item 2. 
\item 3. 
\item 4. 

\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}

{\color{red}解答：(c). 系数矩阵 $A=(1,1,1,1)$, 所以 $n-R(A)=4-1=3$. 


}

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\end{enumerate}

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\end{document}

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